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title: なぜ行列は、一瞬で長くなるのか｜佐藤伸明
description: 採用の返事が急に遅れ始めるのはなぜか。待ち行列理論のいちばん単純なモデルを、動かせる図とシミュレーションで見ながら、余裕を残すことの意味を考える。
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[佐藤伸明 Nobu Sato](https://nobusato.jp/home?hsLang=ja)

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組織と採用

この記事

1. [コーヒースタンドで考えてみる](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s1)
2. [空き時間は、貯金できない](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s2)
3. [余裕が減ると、待ちは急に増える](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s3)
4. [実際の列は、平均よりもっと荒れる](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s4)
5. [採用の現場に置きかえると](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s5)

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# なぜ行列は、一瞬で長くなるのか

客が2割増えただけで、待ちは4倍近くになる

[佐藤伸明](https://nobusato.jp/ja/profile?hsLang=ja)約6分

目次5

1. [コーヒースタンドで考えてみる](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s1)
2. [空き時間は、貯金できない](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s2)
3. [余裕が減ると、待ちは急に増える](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s3)
4. [実際の列は、平均よりもっと荒れる](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s4)
5. [採用の現場に置きかえると](https://nobusato.jp/ja/blog/why-do-queues-get-long-all-at-once#s5)

採用の仕事をしていると、候補者からの「その後いかがでしょうか」が、なぜか同じ週に固まって届くことがある。誰かが手を抜いたわけでも、応募が急に倍になったわけでもない。少し忙しくなっただけで、返事が日単位で遅れ始める。

以前、2週間のうちに12の事業部から合わせて400件の面接依頼が来て、その日程調整を全部終わらせたことがある。平日だけで数えると1日40件ほどになる。あのくらいの量を抱えたときに何が起きているのかを考えるとき、私がいちばん役に立つと思っている道具は、待ち行列理論のなかでも一番単純なモデルだ。数式は一本だけ出てくるが、読み飛ばしても話は通じるように書いた。

客が2割増えただけで、待ちは4倍近くになる

店員ひとりのコーヒースタンド（能力60杯/時）。客数45人/時→55人/時のときの平均待ち（分）

- いま45人/時

  3分
- キャンペーン後・直感2〜3割延びると見積もる

  4分
- キャンペーン後・モデルM/M/1で計算

  11分

直感は負荷に比例して考える。実際の待ちは、余裕が消えるところで跳ねる。

図1　客数を45人/時から55人/時へ22%増やすと、直感では4分ほどの待ちが、モデルでは3分から11分へ4倍近くに延びる。

## コーヒースタンドで考えてみる

話を簡単にするために、店員がひとりのコーヒースタンドを考える。店員は平均1分で1杯をつくるので、1時間なら60杯。午前中のお客さんは1時間に平均45人で、能力の4分の1は空いている計算になる。

ここで店長がキャンペーンを打ち、客が1時間55人に増えたとする。22%増だ。たいていの人は、待ち時間も2〜3割延びるくらいだと見積もる。3分が2〜3割延びるなら、4分弱だ。計算してみると、平均3分だった待ちが11分になる。4倍近い。

## 空き時間は、貯金できない

理由は二つある。お客さんは均等には来ないこと。それから、店員の空き時間は貯めておけないこと。

下の図は、ある24分間に16人が来た様子だ。平均すれば1分に1人もいないのに、3人がほぼ続けて入ってくる瞬間があって、列はそこでできる。一方で、同じ24分のうち合計8分は誰もいない。この8分ぶんの能力を、あとの混雑に回すことはできない。

空き時間はあるのに、列はできる

ある24分間に来た16人の到着と行列（店員ひとり、平均1分で1杯）

1. 01お客さんは均等に来ない平均すれば1分に1人もいないのに、3人がほぼ続けて入ってくる瞬間がある
2. 02そこで列ができる最大3人が並び、最長の待ちは2.1分
3. 03空きは貯金できない同じ24分のうち合計8分は誰もいない。この8分ぶんの能力を、あとの混雑に回すことはできない

- 24分のうち空いていた時間失われた能力

  8分

平均の余裕は、混む瞬間には使えない。列は、ばらつきと貯められない空きから生まれる。

図2　24分間に16人が来て、空き時間は合計8分あったのに、3人が続けて来た瞬間に最大3人の列ができ、最長2.1分待たされた。

## 余裕が減ると、待ちは急に増える

これを式にしたのがM/M/1と呼ばれるモデルで、到着も処理時間もランダム、窓口はひとつという前提を置く。混み具合は利用率 ρ、つまり到着の速さを処理の速さで割った値で表す。平均の待ち時間は ρ/(μ−λ) で、分母がゼロに近づくほど跳ね上がる。

数字で見たほうが早いかもしれない。処理能力を60杯/時に固定すると、利用率50%で平均の待ちは1分、80%で4分、90%で9分、95%で19分。80%から95%に上げただけで、待ちはほぼ5倍になる。図3を上から順に読むと、80%を過ぎたあたりで待ちの伸び方ががらりと変わるのが分かる。

ρ = λ / μLq = ρ² / (1 − ρ)Wq = ρ / (μ − λ)

利用率80%を超えると、待ちは急坂になる

M/M/1モデル、処理能力60杯/時で固定。利用率ごとの平均待ち Wq（分）と平均行列 Lq（人）

- 50%余裕　行列0.5人

  1分
- 80%曲がり角　行列3.2人

  4分
- 90%急坂　行列8.1人

  9分
- 95%崩れる手前　行列18.1人

  19分

利用率を15ポイント上げただけで、待ちはほぼ5倍になる。

図3　処理能力60杯/時のとき、平均待ちは利用率50%で1分、80%で4分、90%で9分、95%で19分になり、80%から95%への15ポイントで約5倍に延びる。

## 実際の列は、平均よりもっと荒れる

式が出すのは平均だ。現実の列は、しばらく静かだったかと思うと急に伸びて、なかなか元に戻らない。図4は、客数54人/時（利用率90%）のときの列の動きを三つの場面に分けて描いたものだ。理論上の平均待ちは9分でも、長く待たされる人は列が伸びた瞬間に集中する。9分という平均に近づくのは、長い時間をならしたときだけだ。

平均が9分でも、待たされる時間は均等には来ない

M/M/1モデル、客数54人/時（利用率90%）、処理能力60杯/時。理論上の平均待ちは9分

1. 01しばらく静か列はほとんどできない
2. 02急に伸びる到着が続いた瞬間に、列が一気に長くなる
3. 03なかなか元に戻らない空き時間は貯められないので、伸びた列はゆっくりしか縮まない

- 理論上の平均待ち54人/時のとき

  9分

平均は長く眺めて初めて理論値に寄っていく。待たされる人は、伸びた瞬間に集中する。

図4　客数54人/時（利用率90%）では理論上の平均待ちは9分だが、実際の列はしばらく静かなあと急に伸び、なかなか元に戻らないため、待ちは特定の時間に固まる。

## 採用の現場に置きかえると

ここからが本題だ（コーヒーの話は、そのための長い前置きだった）。採用担当の机の上にある仕事は、ほとんどが行列でできている。面接日程の調整、候補者への連絡、ハイアリングマネージャーの判断待ち、オファーの稟議。どれも到着はランダムで、さばく人の数は決まっている。依頼元が12の事業部あれば、それぞれが自分の都合で投げてくるので、到着はほぼランダムと考えていい。

私の見てきた範囲では、採用チームは稼働率で管理されることが多い。手が空いている人がいれば、もう1ポジション持ってもらう。この曲線を見ると、そのやり方がどこで行き詰まるかがよく分かる。稼働が9割を超えたチームに1件足すと、チーム全員の返事が遅くなる。候補者は、待たされた日数をよく覚えている。

「稼働率90%なら、まだ1割余っている」という言い方もよく聞く。平均で見ればその通りだが、そのとき平均の列は8人を超えていて、50%のときの16倍になっている。

人を増やせないなら、ばらつきを減らすしかない。面接枠を週の頭にまとめて押さえておく。依頼の書式をそろえて、1件あたりの処理時間のぶれを小さくする。どちらも能力は増えないが、曲線全体を下に押し下げる。ただ、ばらつきをゼロにはできない。処理時間を完全に一定にしても、到着がランダムなら平均の列は半分になるだけだ。だから余裕はやはり残しておく必要がある。

余裕のあるチームは、外から見ると楽をしているように見えることがある。私はむしろ、その余白が候補者体験を守っていると思っている。どこまで余白を残すべきかは仕事の種類で変わるはずで、正直なところ、まだ自分の中で答えが出ていない。目安をひとつ挙げるなら、この曲線が曲がり始める80%あたりだろうか。

モデルの前提：ポアソン到着、指数分布のサービス時間、窓口ひとつ、先着順。数値は μ = 60 杯/時 で計算。

候補者が面接まで来たときに私が何を見ているかは[「書類選考のあと、面接で私が探しているもの」](https://nobusato.jp/ja/blog/what-i-look-for-in-interviews?hsLang=ja)に、いまの日本の採用市場がどれだけ混んでいるかの数字は[「日本の労働市場レポート 2026」](https://nobusato.jp/ja/blog/japan-labor-market-report-2026?hsLang=ja)にまとめた。

筆者

[佐藤伸明](https://nobusato.jp/ja/profile?hsLang=ja)Nobu Sato

日本市場の立ち上げを、人と仕組みから。組織・営業・技術組織の立ち上げについて、日本語・英語・中国語で書いています。

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